Ci sono numeri che sfuggono a ogni ragionevole comprensione umana, e il numero di Graham è uno di questi. Perfino i matematici lo definiscono “mostruoso”. Ben più del più noto googol, cioè 10¹⁰⁰, che abbiamo visto già nella prima puntata di questa serie. Ma il numero di Graham, a sua volta, impallidisce di fronte al suo successore, un numero che è stato scoperto soltanto diversi anni più tardi e che costituisce la terza tappa di questo nostro viaggio nei numeri enormi.

Tappa 3. TREE(3)

Così come il numero di Graham, TREE(3) non viene vuori dal nulla, solo per il piacere di battere un record. Questo numero emerge infatti da un problema matematico reale, o meglio da un gioco, il “gioco degli alberi”. Immaginiamo di costruire una foresta di alberi a partire da diverse combinazioni di semi. Alberi e semi hanno qui un preciso significato matematico. I semi si possono rappresentare con punti colorati, e diverse tipologie di semi hanno colori diversi. Gli alberi sono costituiti da semi collegati tra loro da linee dette rami. Quando si costruisce una foresta, il primo albero deve avere al massimo un seme, il secondo deve avere al massimo due semi e così via. Non è consentito costruire un albero che “contiene” nella sua struttura uno degli alberi più vecchi, in un senso che si può dettagliare matematicamente, ma che è molto vicino all’idea intuitiva che ci si può fare.

In sequenza

Il problema è allora: quanti alberi si possono costruire in questo modo? La risposta dipende dal numero di diverse tipologie di semi a disposizione, cioè dei colori disponibili.

Se c’è un solo colore, c’è un solo tipo di albero. Cioè, TREE(1)=1.

Se ci sono due colori, le possibilità sono tre. TREE(2)=3.

Se ci sono tre colori, la foresta esplode. E il numero di alberi diventa mostruosamente grande, pur restando finito. TREE(3)=… un numero grande, grande, grande. Quanto grande? Immaginiamo, ancora una volta, di disegnare un albero nel tempo più breve possibile. Questo tempo si chiama “tempo di Planck”, ed è pari a circa 0,0000000000000000000000000000000000000000001 secondi. In fisica, un tempo inferiore non può esistere, nemmeno in linea di principio. E noi esseri umani siamo ancora molto lontani dall’avere accesso a un tempo così breve. Immaginando però di riuscire a disegnare un albero in un tempo di Planck, dopo un anno ne avremmo molti miliardi di miliardi di miliardi… non vale la pena nemmeno contarli tutti, perché questo numero sarebbe comunque enormemente più piccolo di TREE(3). E se anche andassimo avanti per tutta l’età della Terra, o quella del Sole, o pefino quella dell’universo, ancora non saremmo nemmeno a metà strada. Anzi, non saremmo nemmeno all’inizio. Si pensa che il nostro universo, prima o poi, scomparirà, forse per generarne un altro. Ci vorrà ancora molto, ma molto tempo. Qualunque sia l’età massima possibile per l’universo, però, verosimilmente non basterebbe per contare tutte le possibili configurazioni di TREE(3) e nemmeno del numero di Graham, che pure è molto più piccolo. Il numero di Graham, rispetto a TREE(3), è praticamente zero.

Oltre TREE(3)

Ovviamente, oltre TREE(3) ci sono TREE(4), TREE(5) e così via, fino a TREE(Graham) e oltre. È facile scriverli, praticamente impossibile immaginarli, dato che questa serie cresce più velocemente di qualsiasi altra facilmente concepibile. Ma se si escludono questi numeri ottenuti dall’applicazione di una regola precedente è possibile andare oltre TREE(3)? La risposta è nella prossima puntata

Link e approfondimenti

• La prima puntata della serie sui grandi numeri.
• La crescita esponenziale descritta da Dante Alighieri.
• Googol e googolplex in un video di Numberphile.
• Il numero di Graham spiegato da Ron Graham!
• Un video di Numberphile che spiega in modo chiaro ed efficace che cos’è TREE(3) e quanto è enorme. Poiché si tratta di un numero così grande, c’è pure un video aggiuntivo di extra footage. E il confronto con il numero di Graham.
• Il teorema di Kruskal che dà origine a TREE(3).

Nel mondo dei grandi numeri, un punto di riferimento è il googol, cioè 10¹⁰⁰, con cui abbiamo chiuso il post precedente. Tant’è che la branca della matematica che si occupa di grandi numeri è da alcuni chiamata googologia. Ma per quanto grande possa essere un googol – più o meno 100 miliardi di miliardi di volte il numero di atomi dell’intero universo – non è nulla in confronto all’infinito matematico.

Tappa 1. Il googolplex

Un salto di qualità si può fare con il googolplex, anch’esso (come googol) introdotto da Edward Kasner, che è pari a 10^googol ed è più facile da scrivere che da immaginare. Il googol si può ancora scrivere per esteso in notazione decimale su una pagina (v. figura). Per il googolplex non basterebbe un libro, e nemmeno una biblioteca, e nemmeno tutti i libri del mondo. Se infatti potessimo scrivere una cifra su ogni atomo dell’universo, arriveremmo a malapena a 10⁸⁰ cifre, mentre un googolplex di cifre ne ha 10¹⁰⁰. Un altro modo per raccontarla è dire che, se volessimo scrivere il numero a mano, immaginando di avere abbastanza carta e di scrivere una cifra ogni secondo, ci vorrebbero più di 10⁹⁰ anni, cioè 10⁸⁰ volte più dell’età universo.

Per tutti gli scopi pratici, il googolpex è un numero troppo grande per il nostro universo, figuriamoci allora per la nostra capacità di comprenderne veramente le dimensioni!

Tappa 2. Il numero di Graham

Ma il googolplex è ancora un numero relativamente piccolo, in quando si può ancora scrivere in forma esponenziale. All’inizio questo era ancora il metodo usato per creare numeri enormi, cioè aggiungendo zeri o esponenti su esponenti. Poi, nel 1971, arrivò Ronald Graham, e fece un importante salto di qualità. Graham definì infatti una procedura ricorsiva per creare un numero mostruoso, molto più grande di qualsiasi potenza possa venire ragionevolmente in mente: il numero di Graham. Questo “mostro” non salta fuori dal nulla, per il puro piacere di trovare un numero da record come altri che vedremo in seguito, ma è stato pensato per risolvere un problema matematico di teoria dei grafi e si può definire in modo ricorsivo.

Freccette

Prendiamo, per esempio, il numero 3 e definiamo le seguenti operazioni, usando una notazione ideata dall’informatico statunitense Donald Knuth:

3 ↑¹ 3 = 3↑3 = 3³ = 27

3 ↑² 3 = 3↑↑3 = 3↑(3↑3) = 3²⁷ = 7.625.597484.987 (circa 7.600 miliardi)

3 ↑³ 3 = 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7.625.597484.987 = … (molto più di un googolplex)

3 ↑⁴ 3 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3)=  …

Oltre ogni comprensione

È subito chiaro come la sequenza diventi esplosiva. Ma siamo solo all’inizio. Perché, a questo punto, si passa a un altro livello di crescita. Si definisce quindi:

g1 = 3 ↑⁴ 3

g2 = 3 ↑^g1 3

g3 = 3 ↑^g2 3

…

E così via fino a g64.

g64 è il numero di Graham. A vederlo definito così, in una sequenza quasi lineare, si perde il senso della sua enormità. Ma per avere appena un assaggio di quanto questo numero sia grande, basti considerare che anche solo g1 è totalmente al di fuori della nostra comprensione umana.

Oltre l’universo

Consideriamo il massimo numero che, in linea di principio, possa essere contenuto nell’universo in forma decimale. Per stimarlo, si può considerare la quantità massima di informazione che l’universo può contenere. Immaginiamo di allora suddividere lo spazio in tante caselle, ciascuna della quale contenga un’unità di informazione, per esempio una cifra (da 0 a 9) di un numero enorme. Da un punto di vista fisico, il volume minimo che ha senso considerare si chiama volume di Planck, ed è un numero piccolissimo, pari a 1.6 10^-33 centimetri. Se si cercasse di guardare in un volume più piccolo, si produrrebbe un buco nero. In un centimetro cubo ci sono 2,5 10⁹⁸ volumi di Planck. Nell’intero universo che ne sono 10¹⁸⁴. Il googolplex ha 10¹⁰⁰ cifre, dunque in linea di principio può essere scritto nell’universo nella modalità che abbiamo appena illustrato. g1 no. g1 è molto più grande.

Figuriamoci g2, che è scritto con una quantità di frecce pari a g1… E poi tutti gli altri.

Ovviamente ci sono tanti numeri più grandi del numero di Graham. Al posto del 3 si potrebbe usare un altro numero. Oppure si potrebbe iterare il processo per un numero maggiore di volte. Ma tutto questo non cambierebbe di molto le cose. Di fatto, il numero di Graham ci proietta verso una dimensione fuori dalla portata della classica notazione esponenziale.

Da record

Anche se questo numero non si può scrivere in alcun modo per esteso, le sue ultime cifre sono note, e sono 3, 8 e 7. Il numero di Graham fu reso popolare dallo scrittore Martin Gardner sulle pagine di Scientific American, ed entrò nel Guinness dei primati nel 1977.

Link e approfondimenti

• La prima puntata della serie sui grandi numeri.
• La crescita esponenziale descritta da Dante Alighieri.
• Googol e googolplex in un video di Numberphile.
• Il numero di Graham spiegato da Ron Graham!
• Per scendere nel dettaglio, il sito Conceptualizing Graham’s number.
• Gli ultimi 16 milioni di cifre del numero di Graham.