Nel mondo dei grandi numeri, un punto di riferimento è il googol, cioè 10100, con cui abbiamo chiuso il post precedente. Tant’è che la branca della matematica che si occupa di grandi numeri è da alcuni chiamata googologia. Ma per quanto grande possa essere un googol – più o meno 100 miliardi di miliardi di volte il numero di atomi dell’intero universo – non è nulla in confronto all’infinito matematico.
Tappa 1. Il googolplex
Un salto di qualità si può fare con il googolplex, anch’esso (come googol) introdotto da Edward Kasner, che è pari a 10googol ed è più facile da scrivere che da immaginare. Il googol si può ancora scrivere per esteso in notazione decimale su una pagina (v. figura). Per il googolplex non basterebbe un libro, e nemmeno una biblioteca, e nemmeno tutti i libri del mondo. Se infatti potessimo scrivere una cifra su ogni atomo dell’universo, arriveremmo a malapena a 1080 cifre, mentre un googolplex di cifre ne ha 10100. Un altro modo per raccontarla è dire che, se volessimo scrivere il numero a mano, immaginando di avere abbastanza carta e di scrivere una cifra ogni secondo, ci vorrebbero più di 1090 anni, cioè 1080 volte più dell’età universo.
Per tutti gli scopi pratici, il googolpex è un numero troppo grande per il nostro universo, figuriamoci allora per la nostra capacità di comprenderne veramente le dimensioni!
Tappa 2. Il numero di Graham
Ma il googolplex è ancora un numero relativamente piccolo, in quando si può ancora scrivere in forma esponenziale. All’inizio questo era ancora il metodo usato per creare numeri enormi, cioè aggiungendo zeri o esponenti su esponenti. Poi, nel 1971, arrivò Ronald Graham, e fece un importante salto di qualità. Graham definì infatti una procedura ricorsiva per creare un numero mostruoso, molto più grande di qualsiasi potenza possa venire ragionevolmente in mente: il numero di Graham. Questo “mostro” non salta fuori dal nulla, per il puro piacere di trovare un numero da record come altri che vedremo in seguito, ma è stato pensato per risolvere un problema matematico di teoria dei grafi e si può definire in modo ricorsivo.
Freccette
Prendiamo, per esempio, il numero 3 e definiamo le seguenti operazioni, usando una notazione ideata dall’informatico statunitense Donald Knuth:
3 ↑1 3 = 3↑3 = 33 = 27
3 ↑2 3 = 3↑↑3 = 3↑(3↑3) = 327 = 7.625.597484.987 (circa 7.600 miliardi)
3 ↑3 3 = 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7.625.597484.987 = … (molto più di un googolplex)
3 ↑4 3 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3)= …
Oltre ogni comprensione
È subito chiaro come la sequenza diventi esplosiva. Ma siamo solo all’inizio. Perché, a questo punto, si passa a un altro livello di crescita. Si definisce quindi:
g1 = 3 ↑4 3
g2 = 3 ↑g1 3
g3 = 3 ↑g2 3
…
E così via fino a g64.
g64 è il numero di Graham. A vederlo definito così, in una sequenza quasi lineare, si perde il senso della sua enormità. Ma per avere appena un assaggio di quanto questo numero sia grande, basti considerare che anche solo g1 è totalmente al di fuori della nostra comprensione umana.
Oltre l’universo
Consideriamo il massimo numero che, in linea di principio, possa essere contenuto nell’universo in forma decimale. Per stimarlo, si può considerare la quantità massima di informazione che l’universo può contenere. Immaginiamo di allora suddividere lo spazio in tante caselle, ciascuna della quale contenga un’unità di informazione, per esempio una cifra (da 0 a 9) di un numero enorme. Da un punto di vista fisico, il volume minimo che ha senso considerare si chiama volume di Planck, ed è un numero piccolissimo, pari a 1.6 10-33 centimetri. Se si cercasse di guardare in un volume più piccolo, si produrrebbe un buco nero. In un centimetro cubo ci sono 2,5 1098 volumi di Planck. Nell’intero universo che ne sono 10184. Il googolplex ha 10100 cifre, dunque in linea di principio può essere scritto nell’universo nella modalità che abbiamo appena illustrato. g1 no. g1 è molto più grande.
Figuriamoci g2, che è scritto con una quantità di frecce pari a g1… E poi tutti gli altri.
Ovviamente ci sono tanti numeri più grandi del numero di Graham. Al posto del 3 si potrebbe usare un altro numero. Oppure si potrebbe iterare il processo per un numero maggiore di volte. Ma tutto questo non cambierebbe di molto le cose. Di fatto, il numero di Graham ci proietta verso una dimensione fuori dalla portata della classica notazione esponenziale.
Da record
Anche se questo numero non si può scrivere in alcun modo per esteso, le sue ultime cifre sono note, e sono 3, 8 e 7. Il numero di Graham fu reso popolare dallo scrittore Martin Gardner sulle pagine di Scientific American, ed entrò nel Guinness dei primati nel 1977.
Link e approfondimenti
• La prima puntata della serie sui grandi numeri.
• La crescita esponenziale descritta da Dante Alighieri.
• Googol e googolplex in un video di Numberphile.
• Il numero di Graham spiegato da Ron Graham!
• Per scendere nel dettaglio, il sito Conceptualizing Graham’s number.
• Gli ultimi 16 milioni di cifre del numero di Graham.
