Come già notato in un paio di post pubblicati su Josway (articolo 1 di Andrea Parlangeli e articolo 2 di Furio Honsell), i numeri generati dall’umanità sono sempre più grandi. O, almeno, sono grandi su scala umana… soprattutto se consideriamo che gran parte delle popolazioni in tutto il mondo impara a contare con le dita delle mani, e che quindi quella delle unità o al più delle decine è l’unica scala che riusciamo veramente a cogliere riportandola in ultima analisi al nostro stesso corpo.

Cento, mille… tanto

Già i numeri arabi ci consentono, con qualche trucco, di spingere un po’ più in là il nostro orizzonte. Così, in qualche modo, se una singola cifra può variare da zero a nove, mettendo insieme più cifre si può arrivare fino a cento, mille, un milione… i più bravi possono arrivare a un miliardo e anche qualcosa di più. Ma quando il numero di cifre comincia ad avvicinarsi a dieci, gran parte delle persone comincia a perdersi: manca il termine di paragone. Alla cifra esatta il cervello sostituisce il concetto di “tanto”, e diventa approssimativo.

Notazione esponenziale

Con qualche trucco, però, si può andare ancora oltre, e navigare un po’ più in là nel mare dell’infinito matematico. Per questo è stata inventata la notazione esponenziale, che si può capire facilmente con qualche esempio. Partiamo allora dalle potenze di 10, cioè da tutti quei numeri che si possono scrivere come 10 moltiplicato per sé stesso un certo numero di volte. Questo “numero di volte” è detto, appunto, potenza. Abbiamo dunque: 10 (potenza 1), 100=10×10 (potenza 2), 1.000=10x10x10 (potenza 3) eccetera. La notazione esponenziale consiste nello scrivere questi numeri in modo da metterne in evidenza la potenza. E così abbiamo:

10¹=10 (potenza 1)

10²=100 (potenza 2)

10³=1.000

E così via.

Cifre significative

Il vantaggio della notazione esponenziale è che consente di scrivere i numeri in un modo che mette in evidenza quanto sono grandi, senza badare più di tanto alle cifre meno significative. Per esempio, un numero come 1.502.374 può essere scritto rigorosamente come 1,502374 10⁶, ma può essere approssimato come 1,5 10⁶. In molti casi, per dire quanto grande sia un numero, basta anche solo l’ordine di grandezza, cioè 10⁶. Come dire: se chiediamo, per valutare un’eventuale giocata, a quanto ammonti il montepremi del Superenalotto, non ci interessa conoscerne il valore esatto, ma ci basta sapere se si tratti di centomila (10⁵), di un milione (10⁶) o di cento milioni (10⁸) di euro.

In 10 miliardi sulla Terra

Con la notazione esponenziale arriviamo a cogliere con relativa facilità numeri fino a circa 10¹⁰: dieci miliardi. Poi, ancora una volta, si fa fatica. Nonostante questo, visto che il numero di esseri umani si avvicina a questa soglia (siamo ormai quasi 8 10⁹ sulla faccia della Terra) e visto che il mondo è sempre più globalizzato, quando si parla di numeri legati all’umanità intera – come la quantità di acqua utilizzata o le emissioni di anidride carbonica – spesso il numero di cifre è anche maggiore. E allora diventa utile, oltre a utilizzare la notazione esponenziale, usare anche un linguaggio coerente con essa. Così la quantità di informazioni disponibili in internet entro il 2025, 175 zettabyte. Cioè 175 mila miliardi di miliardi di byte, cioè 10²¹. Roba da capogiro.

Mega, zetta, yotta. E i nuovi nomi

Di solito, per indicare i numeri grandi nel linguaggio parlato, si usano prefissi come mega, giga e zetta, che altro non sono che una trasposizione in parole della notazione esponenziale. A voler essere esaustivi, i prefissi sono: chilo (10³), mega (10⁶), giga (10⁹), tera (10¹²), peta (10¹⁵), exa (10¹⁸), zetta (10²¹) e yotta (10²⁴). Recentemente, visto l’aumento esponenziale di dati, la Conferenza generale dei pesi e delle misure (CGPM) riunitasi a Versailles, vicino Parigi, ha suggerito due nuovi prefissi ­– ronna (10²⁷) e quetta (10³⁰) – visto che nella Rete già se ne stavano informalmente usando altri come bronto e hella (entrambi per 10²⁷).

Il mondo speculare del micro

Per inciso, per ogni numero gigante che si possa immaginare ne esiste uno minuscolo che si definisce il suo inverso, in modo che il prodotto tra i due sia esattamente 1. E per questo a ciascuno dei prefissi sopra descritti ne corrisponde uno nel micromondo: milli, micro, nano, pico, fempto, atto, zepto, yocto, ronto e quepto.

Oltre la scala umana e terreste

Tornando ai grandi numeri, per quanto in là si possa andare con il linguaggio, non esistono parole adatte a descrivere in modo adeguato molte quantità della natura su larga scala, come il numero di atomi che costituisce la Terra (10⁵⁰ circa) e men che meno il numero degli atomi presenti nell’universo visibile (10⁸⁰circa, per quello che si sa).

Googol

Già qui vediamo che numeri così grandi sono difficili da maneggiare, tanto che spesso perfino il loro ordine di grandezza non è noto con precisione ma solo in modo indicativo. E già, volendo considerare numeri più grandi, viene spontaneo pensare a 10¹⁰⁰, che infatti esiste e prende il nome di googol. Come ha notato Furio Honsell in un post su Josway, il nome del motore di ricerca Google deriva proprio da lì, da un mix tra i termini googol e goggle, che in inglese significa strabuzzare gli occhi per la meraviglia… Meraviglia che cresce se ampliamo lo sguardo oltre l’orizzonte del mondo fisico, per spingerci nell’universo senza confini della matematica. Se infatti il mondo fisico per quanto vasto è pur sempre finito, quello matematico non lo è. Nel mondo matematico, un googol è un numero minuscolo rispetto a tanti altri più grandi che si possono pensare (continua).

Link e approfondimenti

· La crescita esponenziale descritta da Dante Alighieri.