Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch’è primo così come raia
da l’un, se si conosce, il cinque e ’l sei;

e però ch’io mi sia e perch’io paia
più gaudïoso a te, non mi domandi,
che alcun altro in questa turba gaia.

(Dante Alighieri, Divina Commedia, Paradiso, Canto XV)

Nel Paradiso, Dante incontra il suo antenato Cacciaguida degli Elisei e gli attribuisce grande saggezza e lungimiranza per il fatto di essere in grado di leggere i suoi pensieri in quanto, come beato, li può vedere in Dio.

A uno a uno

La descrizione di questa situazione da parte di Dante può suggerire a un moderno lettore un metodo per la costruzione dell’insieme dei numeri naturali basato sul principio di induzione. Il sommo poeta, infatti, in questa terzina afferma: tu credi che i tuoi pensieri mi vengano da Dio (da colui che è primo) così come ogni numero naturale si può ottenere partendo da 1 aggiungendo progressivamente 1 (per esempio, il 6 viene dal 5 aggiungendo 1). Questo è, appunto, in matematica, il principio di induzione, che costituisce un’importante tecnica di dimostrazione nota ai matematici fin dall’antichità. Dante lo vede come una metafora della creazione, poiché il principio afferma che si può generare un numero infinito di elementi semplicemente partendo dall’unità, cioè da ciò che “è primo”. Per estensione, quindi, l’infinito è incluso nel principio primo, cioè in Dio… un ragionamento che, in matematica, può essere valido ma solo in alcuni casi. Per esempio vale per i numeri naturali, che si possono contare uno a uno, ovvero sono “numerabili” e persino per i razionali (anche le frazioni sono “numerabili” come dimostrato dal matematico tedesco George Cantor a fine Ottocento) ma non per i numeri reali (cioè per i punti di una retta) che non sono numerabili (anche questo dimostrato da Cantor).

Link e approfondimenti

• Il “programma” di divulgazione della conoscenza di Dante del Convivio e del De Vulgari Eloquentia.
• L’articolo di Furio Honsell sui numeri naturali, reali, immaginari… e oltre.