Le leggi più profonde della fisica si basano su principi di minimo e su regole di simmetria, anche se questo non è stato subito chiaro ai padri fondatori della meccanica quantistica, un secolo fa. Quando nel 1925 il giovane Werner Heisenberg fornì una prima formulazione delle leggi fondamentali di questa teoria, infatti, in molti storsero il naso: possibile che la natura fosse così complicata, impenetrabile, astrusa? Il formalismo di Heisenberg si basava infatti su tabelle di numeri, dette matrici, di dimensione infinita, il cui senso profondo non risultava all’epoca per nulla chiaro. E quando poco dopo, nel 1926, le stesse leggi furono riformulate da Erwin Schrödinger nei termini di un’equazione d’onda che ancora porta il suo nome, in molti tirarono il fiato. Ecco che finalmente si riusciva in qualche modo a visualizzare, per esempio, il comportamento di un elettrone in un atomo: bastava descriverlo in termini di un’onda che si propaga nello spazio – stabilizzandosi in determinate orbite, o meglio “orbitali” – e che definisce la probabilità di trovarlo in un certo punto se si decide di andar a guardare dov’è.

Principio di minimo

In realtà le due formulazioni, quella di Heisenberg e quella di Schrödinger, sono equivalenti. E sono state ben presto superate da una terza formulazione, ancora più completa e generale, enormemente più potente, che ha consentito al britannico Paul Dirac di unificare meccanica quantistica e relatività ristretta, per dar vita alla teoria quantistica dei campi, la più avanzata formulazione tuttora esistente della fisica fondamentale. Nel 1933, Dirac perfezionò ulteriormente la sua formulazione, basandola (proprio per ragioni di simmetria) su un principio di minimo molto profondo, che era noto già per la fisica classica.

Quando una particella si muove in un certo campo di forze – possiamo pensarla come una pallina che rotola su una pista piena di curve, dossi e avvallamenti – tra tutte le traiettorie possibili sceglie quella che rende minima (o, meglio, stazionaria) una quantità fisica che si chiama “azione”. Questo principio prende perciò il nome di Principio di minima azione e vale anche nella meccanica quantistica. Imponendo appunto le condizioni di minimo, nella formulazione di Dirac, si ottengono le equazioni del moto delle particelle elementari.

La somma sui cammini

Elaborando ulteriormente questa intuizione, nel 1948 il fisico e premio Nobel statunitense Richard Feynman arrivò a uno dei suoi risultati più celebrati, quello dell’integrale sui cammini per determinare e interpretare il percorso di minima azione in meccanica quantistica. Quando una particella deve spostarsi da un punto A a un altro punto B dello spazio, in presenza di qualsiasi campo di forze od ostacolo intermedio, si comporta come se esplorasse contemporaneamente tutti i cammini possibili. Si creano così un’infinità di interferenze tra le onde di propagazione, che però si compensano tra loro cancellandosi, e – quando le si somma tutte con un procedimento definito appunto “integrale sui cammini” – quello che rimane è una sorta di percorso medio, che riassume tutti i percorsi generati e conduce esattamente alla stessa soluzione, lo stesso percorso deducibile in base al principio di minima azione.

In parole semplici, quando una particella si muove nello spazio, è come se esplorasse contemporaneamente tutte le strade percorribili, per poi scegliere l’unica possibile, quella che rende minima l’azione.

Nel mondo di Calvino

L’idea è di quelle che fanno scoppiare la testa, e sorprendentemente la si può ritrovare in un racconto con molti livelli di lettura di Italo Calvino: “Il Conte di Montecristo”, incluso nella raccolta delle Cosmicomiche, racconti fantastici ispirati da teorie scientifiche pubblicati in diversi volumi a partire dal 1965. Prima di arrivare al punto, è necessario capire bene di che cosa parla questo racconto.

Come evadere dalla prigione

Nelle Cosmicomiche, basta un’idea scientifica per ispirare una storia da narrare in forma di favola, talvolta paradossale ma spesso ottenuta fondendo la scrittura poetica con quella mitica, che ci aiuta anche a comprendere e a ricordare meglio una teoria scientifica attraverso l’uso di immagini e la creazione personaggi, proprio come nei miti antichi. In particolare, “Il Conte di Montecristo” è incluso nel volume intitolato Ti con zero e fa parte della serie dei “racconti deduttivi”, nei quali vengono narrate vicende e situazioni che esprimono ragionamenti di tipo ipotetico-deduttivo propri della matematica e delle scienze esatte. Nella scienza, però, oltre al metodo deduttivo si utilizza anche un metodo induttivo, che consiste nel partire da osservazioni e dati sperimentali dai quali ricavare (indurre) le opportune conclusioni.

Induzione e deduzione

La descrizione dei due approcci, induttivo e deduttivo, nello studio dei sistemi reali è quanto Calvino si propose nel racconto “Il conte di Montecristo”, dove i due diversi metodi di ragionamento sono rappresentati rispettivamente dal modo di agire di Edmond Dantés (il conte di Montecristo) e dell’abate Faria, entrambi rinchiusi nella prigione del castello d’If. I loro tentativi per scoprire una via d’uscita dal castello si basano sui due strategie opposte: Dantés cerca di creare uno schema generale, logico e coerente, per poter dedurre proprietà su cui formulare algoritmi di evasione; Faria scava cunicoli per trovare una via d’uscita percorrendo tutti i percorsi possibili.

Quel che dice il Conte

I due tipi di ragionamento vengono descritti in modo estremamente chiaro ed efficace nel racconto di Calvino, narrato in prima persona dal Conte. Ecco come il protagonista descrive il proprio metodo:

Mentre quello dell’abate è descritto (sempre dal Conte) in questo modo:

In serie e in parallelo

Anche se Italo Calvino certamente non pensava in questi termini, quello che – nella formulazione di Feynman – fa la funzione d’onda per scegliere il percorso di minima azione assomiglia in modo sorprendente al tentativo di Dantés e di Faria di evadere dalla fortezza. Basta sostituire la fortezza con un sistema fisico, e la ricerca della “via d’uscita” con quella del “percorso di minima azione”. Ammettendo che ci sia infatti una via d’uscita, cioè una soluzione al problema, il punto di vista di Dantés è quello di chi pensa alla formula risolutiva. Dice infatti il Conte: “Più chiudo la forma della fortezza più la semplifico, definendola in un rapporto numerico o in una formula algebrica”. Faria invece si comporta come la funzione d’onda, che esplora senza preconcetti tutti i cammini possibili – con un’importante differenza, però, tipica del mondo quantistico: mentre l’uomo è costretto a esplorare le varie strade una dopo l’altra, in sequenza, la funzione d’onda lo fa istantaneamente, in parallelo. Dimostrando ancora una volta che, per quanto lontano la nostra immaginazione possa arrivare, la realtà (e in particolare quella quantistica) supera sempre la fantasia.

(Ha collaborato Gian Italo Bischi)

Link e approfondimenti

• Il racconto “Il conte di Montecristo”, nella raccolta Ti con zero, di Italo Calvino (qui una sua lettura).
• Il libro Calvino e la complessità (Aras) di Gian Italo Bischi.
• Il libro Tutti i mondi possibili (Raffaello Cortina) di Telmo Pievani. Il sesto capitolo è dedicato al racconto “Il conte di Montecristo”, con un’analisi approfondita che disponibile anche qui.