Una volta noto TREE(3), ovviamente è possibile è possibile creare numeri sempre più grandi, come TREE(4), TREE(googol) o TREE(TREE(3)), e così via. Ma tutti questi numeri, per quanto gargantuescamente inconcepibili, impallidisono di fronte al mostro dei mostri, il numero di Rayo.
Tappa 4. Il numero di Rayo
A differenza del numero di Graham e di TREE(3), che sono legati a problemi matematici reali, il numero di Rayo è stato pensato appositamente per battere il record di numero più grande concepibile. Questo numero, infatti, è il frutto di un duello (The Big Number Duel) che si è tenuto al Massachusetts Institute of Technology (MIT) nel 2007 tra i filosofi Agustín Rayo del MIT e Adam Elga dell’Università di Princeton. Ogni sfidante, a turno, doveva presentare un numero più grande di quello sfoderato dal suo antagonista. E ogni nuovo numero doveva essere costruito con regole nuove. Non valeva, insomma, aggiungere 1 al numero dell’avversario, perché altrimenti si sarebbe andati avanti all’infinito senza colpi di scena. Cominciò Rayo, che scrisse una sequenza di una trentina di 1, un numero piuttosto facile da superare. A questo punto, Elga replicò passando un dito sulla lavagna dopo le prime due cifre, in modo tale da trasformare tutti gli 1 successivi in punti esclamativi. Cioè 11!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. Già questo è un numero enorme. Per apprezzarlo, dobbiamo ricordare l’operazione di fattoriale, che viene indicata con un punto esclamativo e in questo esempio è ripetuta 28 volte di seguito.
Crescita vertiginosa… ma limitata
11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 39.916.800
11!! = 39.916.800! = 39.916.800 x 39.916.799… = 6 × 10286.078.170 (molto più di un googleplex)
11!!! = è talmente grande che non si può scrivere nemmeno in forma esponenziale su una lavagna, in pratica. Figuriamoci il resto.
L’alacre castoro
La mossa successiva riguardò una funzione detta Busy Beaver, che in italiano si traduce con “alacre castoro” e definisce la massima attività delle operazioni che ottiene una macchina di Turing (per esempio il numero di simboli che stampa su un nastro) tra tutte quelle in una determinata categoria. Si può dimostrare che la funzione dell’alacre castoro è una funzione non computabile, in quanto cresce asintoticamente più di quanto faccia una qualunque funzione computabile. Insomma, manco a dirlo, una cosa pazzesca.
Mossa finale
Ma il vero colpo di teatro fu la mossa di Rayo che mise fine alla competizione, e che si può enunciare – in forma molto semplificata – così: “Il numero intero più piccolo che sia più grande di qualsiasi numero intero finito nominato da un’espressione nel linguaggio della teoria degli insiemi con un numero di simboli pari a un googol o meno”. Non ci proviamo nemmeno a spiegarlo: per chi fosse interessato, il resoconto dello stesso Rayo si trova qui.
Epilogo
Con il numero di Rayo, la corsa al numero più grande non è finita. Certo, da Rayo in poi la “googologia” – come viene chiamata la scienza dei grandi numeri – è irrimediabilmente cambiata. Se una volta comparivano le funzioni matematiche, ora dominano le espressioni logiche. E diventa sempre più complicato superare il limite, perché – in realtà – tutto il nostro modo di pensare, la nostra logica e la nostra matematica, sono inadeguati a descrivere numeri così grandi, di fronte ai quali se ne può trovare sempre uno che rende il precedente “praticamente zero”. Non ci resta che prendere atto della nostra finitudine, e tornare a gioire del contare sulle dita di una mano.
Link e approfondimenti
• Il poster dello scontro tra Agustín Rayo e Adam Elga.
• Una descrizione del duello (in inglese), tratta dal libro On the Brink of Paradox di Agustín Rayo.
• Un video di Numberphile che spiega il numero di Rayo.
• Tutte le puntate della serie.
