La natura ha i suoi segreti, e ci vuole un occhio attento per poterli decifrare. Un gruppo di matematici ungheresi e inglesi ne ha recentemente svelato uno nuovo, classificando per la prima volta una tipologia di forme definite soft, che si ritrovano in una grande varietà di situazioni, dalla morfologia dei fiumi alle spighe di grano, dal modo in cui si aggregano le molecole alle conchiglie come quella del nautilus; per non parlare del mondo dell’architettura e dell’arte. «Nessuno lo aveva mai fatto prima», ha detto l’artista e matematico Chaim Goodman-Strauss, del National Museum of Mathematics di New York, sulla rivista Nature, in occasione dell’annuncio; aggiungendo che è davvero sorprendente constatare quante questioni fondamentali ci siano ancora da scoprire. «Il tempo dirà se sarà stato utile», ha commentato Goodman-Strauss a Josway. 

La sapienza dall’Alhambra

La novità riguarda un tipo di figure che risolve un problema nato già nella preistoria, quello di tassellare il piano, cioè di riempirlo con forme geometriche che si ripetono all’infinito senza sovrapporsi né lasciare buchi: un’esigenza che risale almeno ai primi edifici costruiti con i mattoni (circa 7 mila anni fa) e alle prime piastrelle usate per ricoprire pavimenti e pareti. Il punto più alto di questa arte antica è forse l’Alhambra di Granada che affascinò anche Maurits Cornelis Escher, dove si dice che compaiano in forma di decorazione tutte le possibili simmetrie realizzabili nel piano. Che fossero esattamente 17, i matematici lo hanno scoperto solo molto tempo dopo.

L’errore di Platone

Il primo ad affrontare il tema dal punto di vista matematico fu Platone, che oltretutto si pose la questione più complessa di tassellare lo spazio con poliedri regolari. Platone era convinto che si potesse fare con ciascuno dei cinque solidi platonici, che nella sua visione rappresentavano i quattro elementi (aria, acqua, terra e fuoco) e il cosmo. Purtroppo non è così semplice. Aristotele, per esempio, notò che di queste figure solo il cubo e il tetraedro potevano essere usati per riempire lo spazio senza lasciare buchi; ma anche lui commise un errore, infatti l’affermazione non è vera per il tetraedro regolare. Pian piano i matematici hanno dipanato la questione, scoprendo tra l’altro che l’idea di Platone poteva realizzarsi in una geometria non euclidea. Ma fino ad oggi erano state quasi sempre considerate solo forme geometriche standard, cioè poligoni nel piano e poliedri nello spazio. Tra l’altro, una delle scoperte più recenti e affascinanti è stata quella delle configurazioni che riempiono il piano senza ripetersi regolarmente, come i quasicristalli scoperti negli anni ’80 del Novecento e studiati da Roger Penrose. In genere queste figure sono composte da più poligoni. Solo l’anno scorso è stato scoperto, proprio dal già citato Chaim Goodman-Strauss con alcuni colleghi, il primo poligono capace di riempire lo spazio con una tassellatura quasi periodica, cioè che non si ripete regolamente nello spazio come quelle tradizionali, ma comunque capace di ricoprirlo completamente. 

Cellule e cipolle

Ora un gruppo di matematici guidato da Gábor Domokos, docente all’Università di Tecnologia e di Economia di Budapest, ha per la prima volta classificato un tipo di tassellazione basato su figure definite soft cells (“celle morbide”), composte da linee curve che minimizzano il numero di angoli. In due dimensioni, queste celle hanno due spigoli con angoli interni esattamente uguali a zero. Tutte le possibili conformazioni ricavabili dai poligoni regolari sono illustrate nella figura qui sopra. E alcune di queste forme sono molto diffuse in natura, dalle cellule dei tessuti muscolari alla sezione delle cipolle.

Senza spigoli

In 3D la situazione è più complessa e compaiono situazioni controintuitive. Esistono, per dirne una, figure tridimensionali complesse che possono tassellare lo spazio senza avere alcuno spigolo. «C’è stato un momento in cui avevamo molti esempi in 2D, ma nessuno in 3D», racconta Domokos. Uno degli esempi in 2D era la sezione della conchiglia del nautilus (Nautilus belauensis, v. sotto), che in passato ha ispirato i matematici per la sua forma a spirale. Questa conchiglia è costituita da tante camere che hanno tutte la stessa forma e che diventano via via più grandi quando si va dall’interno verso l’esterno. Il mollusco vive nella parte più esterna, ed è in grado di modificare il peso complessivo della struttura riempiendo di gas o di acqua (a seconda dei casi) le camere interne della conchiglia, che funzionano come compartimenti stagni. «Osservando una foto della sezione della conchiglia del nautilus, la mia studentessa Krisztina Regős affermò che, secondo lei, l’intero corpo 3D della camera non aveva spigoli», continua Domokos. Era difficile da credere, ma un’analisi accurata basata su una tomografia della conchiglia ha dimostrato che era proprio così. Fu quella, dunque, la prima forma soft senza spigoli trovata in 3D. 

C’è da dire che le forme del nautilus, per quanto interessanti, non sono direttamente utilizzabili per tassellare lo spazio; proprio perché sono organizzate a spirale. «Però i principi generali su cui si basa la struttura si possono applicare ugualmente», sostiene Domokos. «Siamo solo all’inizio, è un campo completamente nuovo e c’è ancora molto da dimostrare». 

Trasformare con l’algoritmo

Intanto il gruppo di Domokos a Budapest, che per questa ricerca ha collaborato con Alain Goriely dell’Università di Oxford, ha creato un algoritmo per trasformare poligoni e poliedri in forme soft. E sta cercando anche di capire quali siano i meccanismi fondamentali che portano alle forme osservate in natura. I ricercatori sospettano che alla base ci debba essere qualche principio di minimo, qualcosa di simile alle conformazioni di minima energia, che determinano per esempio la forma delle gocce d’acqua o delle tensostrutture a partire dalle forze molecolari che generano fenomeni come la tensione superficiale.

Nell’architettura e nell’arte

I ricercatori hanno anche osservato che alcuni architetti hanno già progettato forme che assomigliano a quelle delle soft cells, probabilmente per ragioni estetiche e strutturali. Un esempio è il centro culturale Heydar Aliyev realizzato da Zaha Hadid a Baku, in Azerbaigian; un altro è il design concettuale di un centro del Cirque du Soleil a New York, realizzato da un team di studenti della University of Applied Arts di Vienna per lo studio Hani Rashid. «Penso che potrebbero esserci applicazioni sia nella biologia, sia nell’arte», conclude Domokos. «Riceviamo molte reazioni e alcune di queste sono già diventate progetti in corso. Per esempio collaboriamo con gli architetti del California College of Arts e insegnamo queste forme in classe. Siamo stati anche invitati a partecipare a un concorso internazionale di architettura». 

Link e approfondimenti

• L’articolo del team guidato da Gábor Domokos, pubblicato su Pnas Nexus.
• L’intervista completa a Gábor Domokos.
• L’annuncio della scoperta della prima tassellatura aperiodica del piano.